a:Xet ΔABC vuông tại A và ΔIBH vuông tại I có

góc B chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔIBH

b: \(BA=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)

HB=4-1=3cm

=>HM=MB=1,5cm

ΔABC đồng dạngvơi ΔIBH

=>AB/IB=BC/BH=AC/IH

=>4/IB=5/3=3/IH

=>IB=4:5/3=12/5cm và IH=3:5/3=9/5cm

a, ta có
BC^2=5^2=25
AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25
=>AB^2+AC^2=BC^2
=> tam giác ABC vuông tại A
b. 
Dx vuông góc với BC
=> góc BDH=90 độ
xét tam giác HBA và tam giác HBD có
BA=BD(gt)
HB cạnh chung
góc HAB=góc HDB= 90 độ
=> tam giác HBA= tam giác HBD(cạnh huyền- cạnh góc vuông)
=> góc HBA=góc HBD(hai góc tương ứng)
=> BH là phân giác góc ABD

a, Tứ giác BDQH nội tiếp vì  B D H ^ + B Q H ^ = 180 0

b, Vì tứ giác ACHQ nội tiếp =>  C A H ^ = C Q H ^

Vì tứ giác ACDF nội tiếp  =>  C A D ^ = C F D ^

Từ đó có  C Q H ^ = C F D ^  mà 2 góc ở vị trí đồng vị => DF//HQ

c, Ta có  H Q D ^ = H B D ^  (câu a)

H B D ^ = C A D ^ = 1 2 s đ C D ⏜

C A D ^ = C Q H ^  (ACHQ cũng nội tiếp)

=>  H Q D ^ = H Q C ^ => QH là phân giác  C Q D ^

Mặt khác chứng minh được CH là phân giác góc  Q C D ^

Trong tam giác QCD có H là giao của ba đường phân giác nên H là tâm đường tròn nội tiếp => H cách đều 3 cạnh CD, CQ, DQ

d, Vì CMFN là hình chữ nhật nên MN và CF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Trong tam giác FCD có MN//CD và MN đi qua trung điểm CF nên MN đi qua trung điểm DF

Mặt khác AB đi qua trung điểm của DF nên 3 đường thẳng MN, AB, DF đồng quy

Câu 1: 

a: Xét ΔAHB vuông tạiH có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: \(BC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{4\cdot6}{2\sqrt{13}}=\dfrac{12}{\sqrt{13}}\left(cm\right)\)

\(AE=\dfrac{AH^2}{AC}=\dfrac{144}{13}:6=\dfrac{24}{13}\left(cm\right)\)

1: Xét ΔABC vuông tại A và ΔEHC vuông tại E có 

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔEHC

2: Xét tứ giác AHEB có \(\widehat{HAB}+\widehat{HEB}=180^0\)

nên AHEB là tứ giác nội tiếp

hay \(\widehat{HBC}=\widehat{EAC}\)

2: Xét tứ giác AHEB có 

\(\widehat{HAB}\) và \(\widehat{HEB}\) là hai góc đối

\(\widehat{HAB}+\widehat{HEB}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AHEB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Suy ra: \(\widehat{HAE}=\widehat{HBE}\)(hai góc cùng nhìn cạnh HE)

hay \(\widehat{HBC}=\widehat{EAC}\)(đpcm)

1: Xét ΔABC vuông tại A và ΔEHC vuông tại E có 

\(\widehat{HCE}\) chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔEHC(g-g)

3: Ta có: AHEB là tứ giác nội tiếp(cmt)

nên \(\widehat{EAB}=\widehat{EHB}\)(hai góc cùng nhìn cạnh EB)

hay \(\widehat{IHE}=\widehat{IAB}\)

Xét ΔIHE và ΔIAB có 

\(\widehat{IHE}=\widehat{IAB}\)(cmt)

\(\widehat{HIE}=\widehat{AIB}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIHE\(\sim\)ΔIAB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{HE}{AB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB\cdot HI=AI\cdot HE\)(đpcm)